Il faut commencer par installer l'utilitaire de récupération des données TestDisk depuis http://www.cgsecurity.org/wiki/TestDisk_Download en choisissant la bonne version (ici GNU/Linux X86_64 pour une architecture 64 bits) en sélectionnant l'option "Ouvrir avec le gestionnaire d'archives". A la fin du téléchargement, presser sur le bouton "Extraire" et valider.

Si le fichier a été extrait dans le dossier Téléchargements, ouvrir une fenêtre terminal ([Ctrl]+[Alt]+[T]) et passer les commandes suivantes:

cd Téléchargements
ls (pour voir les fichiers et dossier qui s'y trouvent et repérer le dossier testdisk)
cd testdisk*
sudo ./testdisk_static (suivi du mot de passe administrateur, Enter)

Le programme se lance et, dans notre cas, vous pouvez choisir l'option [No log], puis sélectionner le disque à tester (ici, Disk /dev/sdc - 500 GB / 465 GiB - HGST HCC 545050A7E380) et lancer le test avec [Proceed]. Choisir [Intel] comme type de partition, puis lancer [Analyse]. TestDisk montre les partitions et vous pouvez choisir [Quick Search].

Dans notre cas, la partition Linux Swap était affectée du label *=Primary bootable et la partition Linux du label P=Primary. Il a suffi de sélectionner, à l'aide des flèches haut / bas) chacune de ces deux partitions en inversant les labels à l'aide des flèches gauche / droite: P=Primary pour Linux Swap et *=Primary bootable pour la partition Linux sur laquelle se trouve le système et les données. Pour valider cela, il suffit de choisir [Write]. Ces nouveaux labels ne seront actifs qu'au prochain démarrage (ou montage) du disque. En fait, tout était revenu à la normale et la machine redémarrait sur ce disque.

Quelqu'un a-t-il une idée de ce qui aurait pu produire une telle inversion de labels (suite à un upgrade vers Ubuntu 14.04?)?

Mais l'important est que la cliente ait retrouvé ses précieuses données, bien sûr!